Pour les vecteurs \(x=(x_1,\dots,x_n)\) et \(y=(y_1,\dots,y_n)\) dans \(E={\Bbb R}^n\), on pose $$\lVert x\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\sum^n_{i=1}x^2_i}$$ et \(\rho(x,y)=\lVert x-y\rVert\)
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer qu'on a l'inégalité triangulaire : $$\lVert x+y\rVert\leqslant\lVert x\rVert+\lVert y\rVert\tag{*}$$
Mettre au carré la relation (ok car tout est positif)
\((\text{})\) est vraie si et seulement si $$\lVert x+y\rVert^2\leqslant\left(\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2\right)$$
Développer les deux côtés de l'inéquation mis au carré
De plus, $$\begin{align}\lVert x+y\rVert^2&=\langle x,x\rangle+2\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle\\ \\ \quad\text{ et }\quad&\lVert x\rVert^2+2\lVert x\rVert\lVert y\rVert+\lVert y\rVert^2\end{align}$$
Majorer par Cauchy-Schwarz
On a par Cauchy-Schwarz : $$\langle x,y\rangle\leqslant\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leqslant\lVert x\rVert\lVert y\rVert$$ d'où $$\lVert x+y\rVert^2\leqslant\left(\lVert x\rVert+\lVert y\rVert\right)^2\implies \lVert x+y\rVert\leqslant\lVert x\rVert+\lVert y\rVert$$
(Inégalité triangulaire)