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  • Inégalité de Cauchy-Schwarz

    Formulaire de report


    Théorème


    Cas général

    Inégalité de Cauchy-Schwarz :
    • \(x,y\in E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire

    $$\Huge\iff$$
    • $$\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leqslant\lVert x\rVert\lVert y\rVert$$
    • $$\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leqslant\sqrt{\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle}$$
    • on a égalité si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires


    Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

    On commence par montrer qu'on a égalité lorsque \(x=\lambda y\).

    Dans le cas contraire, pose \(\alpha\in{\Bbb K}\) de norme \(1\) tq \(\alpha\langle{x,y}\rangle =\lvert\langle{x,y}\rangle \rvert\).

    Poser le polynôme \(\lVert x+t\alpha y\rVert^2\) et le devélopper.

    \(x\) et \(y\) ne sont pas indépendants, donc le polynôme est toujours strictement positif.

    Le discriminant est donc strictement négatif, ce qui donne l'inégalité recherchée.



    Exemples

    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Ecrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour \(f,g\in\mathcal C([a,b])\).
    Verso: $$\int^b_a\lvert f(t)g(t)\rvert\,dt\leqslant\sqrt{\int^b_a f^2(t)\,dt}\sqrt{\int^b_a g^2(t)\,dt}$$
    Bonus:
    END
    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Ecrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour \(u,v\in\ell^2({\Bbb N})\)
    Verso: $$\sum_{n=0}^{+\infty}\lvert u_nv_n\rvert\leqslant\sqrt{\sum^{+\infty}_{n=0}\lvert u_n\rvert^2}\sqrt{\sum^{+\infty}_{n=0}\lvert v_n\rvert^2}$$
    Bonus:
    END

    Exercices

    Soient \(x,y,z\) trois réels tels que \(x^2+y^2+z^2\leqslant1\)
    Montrer que $$(x+2y+3z)^2\leqslant14$$

    Soit \(u=(x,y,z)\in{\Bbb R}^3\) tel que \(\lVert u\rVert_2\leqslant1\)
    D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $$\lvert\langle u,v\rangle\lvert\leqslant\lVert u\rVert_2\lVert v\rVert_2\quad\text{ avec }\quad\langle u,v\rangle=xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime\quad\text{ et }\quad v=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)$$

    On a donc $$\lVert u\rVert_2\leqslant\sqrt{\langle u,u\rangle}$$

    Pour \(v=(1,2,3)\), on a : $$\lvert\langle u,v\rangle\rvert=\lvert x+2y+3z\rvert$$

    D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : $$\begin{align}\lvert\langle u,v\rangle\rvert&\leqslant\lVert u\rVert_2\lVert v\rVert_2\\ &\leqslant\sqrt{x^2+y^2+z^2}\underbrace{\sqrt{1+4+9}}_{=\sqrt{14}}\end{align}$$
    On a donc \((x+2y+3z)^2\leqslant14,\quad\forall(x,y,z)\in{\Bbb R}^3\) tel que \(x^2+y^2+z^2\leqslant1\)


    Pour les vecteurs \(x=(x_1,\dots,x_n)\) et \(y=(y_1,\dots,y_n)\) dans \(E={\Bbb R}^n\), on pose $$\lVert x\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\sum^n_{i=1}x^2_i}$$ et \(\rho(x,y)=\lVert x-y\rVert\)
    En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer qu'on a l'inégalité triangulaire : $$\lVert x+y\rVert\leqslant\lVert x\rVert+\lVert y\rVert\tag{*}$$

    Mettre au carré la relation (ok car tout est positif)
    \((\text{})\) est vraie si et seulement si $$\lVert x+y\rVert^2\leqslant\left(\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2\right)$$

    Développer les deux côtés de l'inéquation mis au carré
    De plus, $$\begin{align}\lVert x+y\rVert^2&=\langle x,x\rangle+2\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle\\ \\ \quad\text{ et }\quad&\lVert x\rVert^2+2\lVert x\rVert\lVert y\rVert+\lVert y\rVert^2\end{align}$$

    Majorer par Cauchy-Schwarz

    On a par Cauchy-Schwarz : $$\langle x,y\rangle\leqslant\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leqslant\lVert x\rVert\lVert y\rVert$$ d'où $$\lVert x+y\rVert^2\leqslant\left(\lVert x\rVert+\lVert y\rVert\right)^2\implies \lVert x+y\rVert\leqslant\lVert x\rVert+\lVert y\rVert$$

    (Inégalité triangulaire)


    Pour les vecteurs \(x=(x_1,\dots,x_n)\) et \(y=(y_1,\dots,y_n)\) dans \(E={\Bbb R}^n\), on pose $$\lVert x\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\sum^n_{i=1}x^2_i}$$ et \(\rho(x,y)=\lVert x-y\rVert\)
    On a l'inégalité triangulaire : $$\lVert x+y\rVert\leqslant\lVert x\rVert+\lVert y\rVert\tag{*}$$avec égalité si et seulement si les vecteurs sont colinéaires
    Démontrer que la fonction \(\rho:E\times E\to{\Bbb R}_+\) est une distance (i.e. Vérifie la définition)

    Symétrie \(\to\) triviale
    La symétrie est évidente

    Cas nul \(\to\) produit scalaire est positif
    Cas nul : ok car, puisque \(\langle ,\rangle\) est positive

    Inégalité triangulaire

    Inégalité triangulaire : $$\begin{align}\lVert x-z\rVert&=\lVert x-y+y-z\rVert\\ &\leqslant \lVert x-y\rVert+\lVert y-z\rVert\end{align}$$

    (Distance)



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